Factorial

Para todo n entero natural, se llama factorial de n al producto de todos los enteros entre 1 y n:

n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n-1) × n

Se impone 0! = 1 (véase producto vacío), para que la relación n! = n × (n - 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por inducción.

Los primeros factoriales son:

1! = 1 ; 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 ; 5! = 120 ; 6! = 720 ; 7! = 5040 ...

Las factoriales se usan mucho en la rama de la combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarollada de (a + b)ⁿ:

(a + b)ⁿ = aⁿ + n·a^n-1·b + C_n,2·a^n-2·b² + ... + n·a·b^n-1 + bⁿ

con:

C_n,k = n! /k! /(n - k)! = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)/ k!

Por medio de la combinatoria, las factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades.
Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor y de MacLaurin). Se generalizan a los reales con la función gama, de gran importancia en el campo de la aritmética.

Existe un equivalente, cuando n tiende al infinito, del factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción, y por lo tanto permite evaluar n! más rapidamente cuando mayor sea n.

Enlaces externos

• http://factorielle.free.fr