Conjunto de Julia

Los conjuntos de Julia (así llamados por el matemático Gaston Julia) son una familia de conjuntos fractales parametrizados por un número complejo c como se describe a continuación:
Para todo complejo z se contruye por inducción la siguiente sucesión:

z₀ = z (término inicial)

z_n+1 = z_n² + c (relación inductiva)

Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que z pertenece al conjunto de Julia de parametro c, denotado por J_c; de lo contrario, z queda excluido de éste.

En las imágenes anteriores, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que divierge la sucesión (su módulo tiende a infinito): en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto; y en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se pueden calcular infinitos valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados, el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.

Por otro lado, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2 (es decir, x² + y² > 4) no pertenecen al conjunto. Por lo tanto, basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique |z_n| > 2 para tener la certeza de que c no está en el conjunto. Existe una relación muy fuerte entre los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot denotado por M, debido a la similitud de sus definiciones:
Si c pertenece a M, J_c es conexo; de lo contrario, J_c está constituido por una infinidad de puntos aislados, repartidos de una manera fractal (lo que se llama polvo de Cantor por su parecido al conjunto de Cantor).

Los mejores resultados se obtienen al tomar el parámetro c en la frontera de M, pues en el interior de M, J_c toma el aspecto de un objeto bastante liso y redondo, poco fractal, y en el exterior, sólo queda polvo microscópico y disperso.
En las imágenes, se han tomado como valores de c: -1,3 + 0,00525·i ; -0,72 0,196·i ; -0,1 + 0,87·i y -0,51 0,601·i, por razones estéticas.

Se pueden generalizar estos conjuntos tomando otras relaciones de inducción: z_n+1 = f(z_n) con cualquier función compleja f. Se puede también generalizar a cualquier dimensión, y emplear varias funciones en lugar de una sola.